Flexagones
Qu'est ce que c'est?
En géométrie, les flexagones sont des modèles "plats" qui peuvent être manipulés de sorte à révéler des faces qui n'étaient pas visible initialement. Ils profitent avantageusement de la flexibilité du papier, matière dans laquelle ils sont souvent construits. Nous avons voulu en créer dans des cartons rigides et avec un peu d'astuce... ça fonctionne.
Le premier flexagone que nous avons contruit est un trihexaflexagone, une sorte d'hexagone à trois faces.
Fabrication
La forme de base
Les hexaflexagones sont fabriqués à l'aide de triangles. Dans notre cas, nous avons choisi le classique triangle équilatéral permetant de réaliser un hexagone régulier.
Pour le trihexaflexagone, il faut découper 9 triangles équilatéraux identiques.
Le chiffre 9 provient d'un simple calcul : il faut 6 faces triangulaires pour faire un hexagone. Comme il y a 3 faces hexagonales, il faut 6×3=18 faces triangulaires. Or chaque triangle a deux faces, il faut donc 9 triangles de carton.
Nous avons d'abord découpé les 9 triangles dans une seule bande comme pour les patrons de trihexaflexagones de papier. Nous les avons ensuite séparés car avoir des triangles indépendants simplifie le montage.
Charnières
Le flexagone a besoin d'être manipulé et donc de plier à certains endroits. Dans la version papier traditionnelle, c'est la flexibilité du papier plié qui sert de charnière, mais avec nos cartons épais, il fallait imaginer une autre méthode.
Nous avons donc élaboré des charnières pour permettre ce mouvement, même avec nos cartons de plusieurs millimètres d'épaisseur. Elles sont simplement réalisées avec du ruban adhésif.
Nous avons conçu deux modèles de charnière. L'une permet de plier le carton dans un seul sens. La seconde, un peu plus complexe, permet une pliure dans les deux sens.
Charnière simple
La charnière simple permet de plier l'assemblage dans un seul sens.
Pour la réaliser, il faut :
- Superposer les triangles l'un sur l'autre. Prenez garde à la manière dont les faces sont en contact, car c'est cette position qu'elles auront lorsque la charnière sera en position fermée.
- Placer une bande de ruban adhésif sur la tranche de l'assemblage. Le ruban est déroulé le long de l'arrête. Il est soigneusement coupé aux extrêmités et les bords sont râbatus sur les faces des triangles. Le ruban lie donc les deux faces extérieures en passant par la tranche, sur la longueur de l'arrête.
- Ouvrir la charnière. Il faut bien vérifier que le ruban adhésif est plié de sorte à ce que les parties collées sur la tranche des triangles soient à l'intérieur de la jointure.
- Coller un ruban adhésif sur la partie intérieure de la charnière.
La charnière est prête à être manipulée.
Charnière double
La charnière double permet de plier l'assemblage dans les deux sens.
Pour la réaliser, il faut :
- Découper 8 bandelettes de ruban adhésif, dont la longueur représente 1/4 de la longueur du côté des triangles.
- Placer quatre bandelettes côté collant vers le haut et coller dessus les quatre autres bandelettes côté collant vers le bas. Le recouvrement doit être de l'épaisseur d'un triangle de carton.
- Sur un des triangles, placer une bande précedemment préparée. Coller la deuxième au bout, mais de l'autre côté. Procéder de même pour les deux autres bandes.
- Plier les bandes par dessus l'arrête du triangle, placer le second triangle et rabbatre les bandes pour les coller sur celui-ci.
La charnière est prête à être manipulée.
Assemblage
Cette partie consiste à assembler les triangles avec des charnières sur les bons côtés et éventuellement dans le bon sens.
Trihexaflexagone
Pour le trihexaflexagone, nous utiliserons seulement des charnières simples. Cela a l'avantage de guider les utilisateurs vers les seuls pliages intéressants : ceux qui permettent de changer de face.
- Prendre un triangle, le placer avec un côté vers soi
- Placer un autre triangle sur le côté droit. La charnière se plie vers le bas.
- Poser l'assemblage à plat, la charnière vers soi et la point du second triangle pointée vers l'avant. À ce stade, deux triangles sont assemblés. Placer un autre triangle sur le côté droit. La charnière se plie vers le haut.
- Refermer la charnière créée et la placer vers soi. À ce stade, trois triangles sont assemblés. Placer un autre triangle sur le côté droit. La charnière se plie vers le haut.
- Laisser la dernière charnière ouverte et la placer vers soi. À ce stade, quatre triangles sont assemblés. Placer un autre triangle sur le côté gauche. La charnière se plie vers le bas.
- Laisser la dernière charnière ouverte et la placer vers soi. À ce stade, cinq triangles sont assemblés. Placer un autre triangle sur le côté droit. La charnière se plie vers le haut.
- Refermer la charnière créée et la placer vers soi. À ce stade, six triangles sont assemblés. Placer un autre triangle sur le côté droit. La charnière se plie vers le haut.
- Laisser la dernière charnière ouverte et la placer vers soi. À ce stade, sept triangles sont assemblés. Placer un autre triangle sur le côté droit. La charnière se plie vers le haut.
- Refermer la charnière créée et la placer vers soi. À ce stade, huit triangles sont assemblés. Placer un autre triangle sur le côté droit. La charnière se plie vers le haut.
- Maintenant que les neuf triangles sont assemblés, il reste à refermer le flexagone. Le dernier triangle doit être placé sous le permier et la charnière qui se plie vers le haut se trouve à droite, i.e. côté extérieur de l'hexagone.
Voilà, vous avez un magnifique trihexaflexagone qu'il reste à décorer.
Utilisation
Bien que l'utilisation est très simple, voici une video qui montre la manipulation du trihexaflexagone.
Et après ?
D'un point de vue géométrique et topographique, il existe de nombreux flexagones à explorer.
D'un point de vue graphique et artistique, il y a des décorations à imaginer. Le trihexaflexagone est un flexagone simple, mais il a trois faces à deux variations chacune qu'il peut être intéressant d'exploiter.